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まず、 y = g(t) = sin(2πft) を t で微分すると、y' = g'(t) = 2πf * cos(2πft) となる。(合成微分の考え方)
したがって、y'/(2πf) = cos(2πft) である。
これを踏まえて、cos(2πft) の積分は以下のように表せる。
∫ cos(2πft) dt = ∫(1/(2πf) * y') dt = ∫(1/(2πf) * (2πf * cos(2πft)) dt ... (1)
ここで、右辺の 1/(2πf) は t を含まない定数なので、積分の外に出すことができる。
∫ cos(2πft) dt = 1/(2πf) * ∫(2πf * cos(2πft)) dt
= 1/(2πf) * (sin(2πft) + C') ... (2)
(2)式右辺を分配すると、以下のようになる。
1/(2πf) * sin(2πft) + (1/(2πf) * C') ... (3)
C' は不定の定数なので、1/(2πf) をかけてもやはり不定である。
したがって、1/(2πf) * C' = C と置くことができる。
その結果、以下の式が得られる。
∫ cos(2πft) dt = 1/(2πf) * sin(2πft) + C 
積分フロー図2.jpg
三角関数の加法定理.jpg
